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微分　x^α

${\displaystyle {\left(x^{\alpha }\right)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}}$  

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■導出計算

●$\alpha$が自然数の場合

微分の定義より

${\displaystyle \frac{d}{dx}{x}^{\alpha }=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{{\left(x+\Delta x\right)}^{\alpha }-x^{\alpha }}{\Delta x}}$

二項定理より

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta x}}$${\displaystyle ({}_{\alpha }{C}_0{x}^{\alpha }{+}_{\alpha }{C}_1{x}^{\alpha -1}\Delta x}$${\displaystyle {+}_{\alpha }{C}_2{x}^{\alpha -2}{\left(\Delta x\right)}^2+}$${\displaystyle \cdots {+}_{\alpha }{C}_{\alpha }{\left(\Delta x\right)}^{\alpha }-x^{\alpha })}$

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }({}_{\alpha }{C}_1{x}^{\alpha -1}{+}_{\alpha }{C}_2{x}^{\alpha -2}\Delta x+}$${\displaystyle \cdots {+}_{\alpha }{C}_{\alpha }{\left(\Delta x\right)}^{\alpha -1})}$

${\displaystyle ={}_{\alpha }{C}_1{x}^{\alpha -1}}$

${\displaystyle =\alpha x^{\alpha -1}}$

●$\alpha$が負の整数の場合

${\displaystyle \frac{d}{dx}{x}^{\alpha }=\frac{d}{dx}\frac{1}{x^{-\alpha }}}$(備考：$-\alpha$ は自然数となる)

${\displaystyle =-\frac{\frac{d}{dx}{x}^{-\alpha }}{{\left(x^{-\alpha }\right)}^2}}$　　($\because$ 分数の微分)

${\displaystyle =-\frac{-\alpha x^{-\alpha -1}}{x^{-2\alpha }}}$

${\displaystyle =\alpha x^{-\alpha -1+2\alpha }}$

${\displaystyle =\alpha x^{\alpha -1}}$

●$\alpha =0$ の場合

微分の定義より

${\displaystyle \frac{d}{dx}{x}^{\alpha }}{\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{{\left(x+\Delta x\right)}^0-x^0}{\Delta x}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{0}{\Delta x}}$

=0

となり ，${\displaystyle \frac{d}{dx}{x}^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}}$は$\alpha =0$の場合も含む．

●α が有理数の場合

${\displaystyle \alpha =\frac{p}{q}}$ 　　p ：整数，p ：自然数として表すことができる．

${\displaystyle \frac{d}{dx}{x}^{\alpha }}{\displaystyle =\frac{d}{dx}{x}^{\frac{p}{q}}}$

${\displaystyle =\frac{d}{dx}{\left(x^{\frac{1}{q}}\right)}^p}$

${\displaystyle =p{\left(x^{\frac{1}{q}}\right)}^{p-1}\frac{d}{dx}{x}^{\frac{1}{q}}}$　　(合成関数の微分)

${\displaystyle =p{\left(x^{\frac{1}{q}}\right)}^{p-1}\cdot \frac{1}{q}{x}^{\frac{1}{q}-1}}$　　 (＊参照)

${\displaystyle =\frac{p}{q}{x}^{\frac{p-1}{q}+\frac{1}{q}-1}}$

${\displaystyle =\alpha x^{\alpha -1}}$

＊ ${\displaystyle x>0}$，q：自然数とする．

${\displaystyle y=x^{\frac{1}{q}}}$ とすると，${\displaystyle x=y^p}$ となる．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$　　(逆関数の微分)

${\displaystyle =\frac{1}{q{y}^{q-1}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{q}{y}^{1-q}}$

${\displaystyle =\frac{1}{q}{\left(x^{\frac{1}{q}}\right)}^{1-q}}$

${\displaystyle =\frac{1}{q}{x}^{\frac{1}{q}-1}}$

　

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最終更新日： 2024年2月16日

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